Conduzione attraverso una parete piana

Temperature e calcolo della potenza termica nel fenomeno della conduzione

Potenziale termico - Regime stazionario permanente e non permanente - Condizioni al contorno

---

Si consideri una parete piana, di spessore s. Ci proponamo di calcolare la quantità di calore (e quindi la potenza termica) che si trasmette per conduzione attraverso di essa a seguito della differenza di temperatura esistente tra le sue due facce opposte.

Applicando l'equazione di Fourier ed integrando tra le due superfici interna ed esterna otteniamo:

Potenza termica scambiata in regime stazionario permanente

Per calcolare la potenza termica scambiata, supponiamo che il flusso di calore avvenga in regime stazionario permanente, considerando costanti la conducibilità termica k e la superficie A possiamo scrivere:

Integrando si ottiene:

ossia:

ove ΔT rappresenta la differenza tra la temperatura "calda” e la temperatura “fredda”.

Risulta interessante porre la precedente equazione nella seguente forma:

ove, posto s/kA=R_cd si ottiene

Questa equazione esprime la quantità di calore che si propaga per conduzione attraverso una parete piana in seguito alla differenza di temperatura esistente tra le sue facce: il primo membro rappresenta il potenziale termico che provoca il flusso di calore q e R_cd indica la resistenza opposta dal materiale a detto flusso di calore.

Questa equazione è formalmente analoga alla legge di Ohm valida per i circuiti elettrici in corrente continua.

Potenza termica in regime stazionario non permanente

Poichè la conducibilità termica in realtà è funzione della temperatura, l'integrazione dell'equazione di Fourier applicata ad un caso reale va eseguita in modo diverso.

Supponendo che la conducibilità dipenda linearmente dalla temperatura, allora si può scrivere:

In regime stazionario è possibile procedere facilmente all'integrazione.
Dopo aver riconosciuto il prodotto notevole somma per differenza, fatte alcune semplificazioni, si giunge dopo facili passaggi alla seguente espressione:

dove T_m rappresenta il valore medio (semisomma) tra la temperatura della parete calda T_C e quella della temperatura fredda T_F.
Detta k_m la conducibilità media attraverso la parete si giunge all'espressione:

Per piccoli intervalli di temperatura, quindi, la potenza termica scambiata per conduzione dipende dalla conducibilità media k_m della parete che a sua volta è funzione della temperatura media dello spessore, intesa come semisomma della temperatura della superficie calda e della temperatura della superficie fredda.

Come varia la temperatura nella parete in seguito alla conduzione

Per avere un’espressione analitica dell’andamento della temperatura all’interno dello spessore s della parete è sufficiente calcolare il seguente integrale

Ricordando l'equazione

si ottiene

Le condizioni al contorno per l’equazione sono:
parete calda: x=0 ; T=T_C
parete fredda: x=s ; T=T_F

L’andamento della temperatura all’interno dello spessore s è di tipo lineare con coefficiente angolare negativo dipendente dallo spessore della parete e dalla differenza di temperatura tra le due facce.
L'energia termica scambiata è di tipo sensibile e si esprime in joule, oppure in watt se ci riferiamo all'energia nell'unità di tempo